『整数』の問題の考え方

「整数」の基本的な問題の考え方をご紹介します。

[1]７２の約数をすべて書け。

(解き方１)

７２を掛け算で表示すると、次のようになります。

７２=１×７２＝２×３６＝３×２４＝４×１８＝６×１２＝８×９

よって、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

(解き方２)

７２を素因数分解します。

７２＝２＾３　×　３＾２

２の使い方は２＾０・２＾１・２＾２・２＾３

３の使い方は３＾０・３＾１・３＾２

これらを総当りで掛け合わせます。

２＾０×３＾０＝１、２＾０×３＾１＝３、２＾０×３＾２＝９

２＾１×３＾０＝２、２＾１×３＾１＝６、２＾１×３＾２＝１８

２＾２×３＾０＝４、２＾２×３＾１＝１２、２＾２×３＾２＝３６

２＾３×３＾０＝８、２＾３×３＾１＝２４、２＾３×３＾２＝７２

このようにして求めた数が約数です。

[2] １２０の約数の個数は何個か。

まず、１２０を素因数分解しましょう。

１２０＝２＾３×３×５

⇒「約数の個数は、「指数＋１」の掛け算」

(3+1)×(1+1)×(1+1) = 4×2×2 = 16

よって、１２０の約数は、１６個

[3] 次の数の最大公約数と最小公倍数を求めよ。

　　１８、２７、３６

まず、それぞれの数を素因数分解して積みましょう。

　　１８＝２＾１　×　３＾２

　　２７＝　　　　　３＾３

　　３６＝２＾２　×　３＾２　　

　　G　＝２＾０　×　３＾２　＝　　９　　・・・指数の小さいもの

　　L　＝２＾２　×　３＾３　＝　１０８　・・・指数の大きいもの

こうして、最大公約数は９、最小公倍数は１０８と求めます。

[4] ５４と９０の公約数をすべて書け。

これもそれぞれの数を素因数分解しましょう。

　５４＝２　　　×　３＾３

　９０＝２　　　×　３＾２　×　５　

　G　＝２　　　×　３＾２　　　　　＝　１８

公約数は最大公約数の約数なので

１、２、３，６、９、１８　が公約数のすべてです。

[5] １２と１８の公倍数のうち、２桁の整数を書け。

やはり、素因数分解しましょうね。

　１２＝　２＾２　×　３

　１８＝　２　　　×　３＾２　　

 　L　＝　２＾２　×　３＾２　＝　３６

公倍数は最小公倍数の倍数なので

３６、７２　が求める公倍数です。

今回は、超基本の問題を取り上げました。

次回は、いろいろな問題を取り上げます。