中学生が苦手とする「整数」のポイント
前回の記事で、
「整数の感覚に欠けている」
と述べましたが、
「どんなことを学ばせたらいいの？」
というお声が聞こえそうなので、まとめてみますね！
整数を考えるための基礎知識
まず、用語の確認をしましょうね。
「整数とは？」
整数は３つから成り、正の整数(自然数)と０(ゼロ)と負の整数です。
「素数とは？」
素数は、「１とその数自身の、約数を２つしかもたない数」のことです。
１は１だけですので素数ではありません。
２=２×１、３=３×１、５=５×１、７=７×１と表せるので
２、３、５、７は「素数」ですね。
４=４×１=２×２と表せるので、４は素数ではありません。
１～５０までの素数の見つけ方です。
①１は素数ではない。
②２は素数なので、２以外の２の倍数(偶数）をすべて消す。
③３は素数なので、３以外の３の倍数をすべて消す。
斜めに３の倍数があるのはおもしろいですね。
④５は素数なので、５以外の５の倍数を消す。
１０の倍数は２の倍数の時に消えていますね。
⑤５０までなら、残るのは７の倍数４９を消すだけです。
１００までなら１１の倍数を消せばいいのですよ。
「素因数分解とは？」
数を、小さい素数から順にどんどん割っていって、
最後に１となるまで割ります。
そうして、素数の積で表します。
例えば、７２=２×２×２×３×３ と分解できますね。
これを指数を使って ７２=２＾３×３＾２ と表します。
(２＾３×３＾２ を、「２の３乗かける３の２乗」と呼びます）
素因数分解をすることで、その数の本質がわかります。
約数と倍数
N=a×bと表せるとき、
「Nは、a、bの倍数である」と言えます。
また、「a、bは、Nの約数である」と言えます。
N=a＾p×ｂ＾ｑ×ｃ＾ｒ と表せるとき、
「Nの約数の個数」は、(ｐ＋１）×(ｑ＋１）×(ｒ＋１）個です。
（「約数の個数」は「指数＋１の掛け算」と覚えましょう）
「倍数の表し方」
２の倍数を ２×ｎ=２ｎ、３の倍数を ３×ｎ=３ｎ と表します。
「余りの公式」
「整数Nをaで割った時の商をP、余りをRとする」と
N=a×P+R (ただし、0≦R＜P）
公約数と公倍数
「公約数とは？」
２つ以上の数において、「共通な約数」のことです。
「公約数は、最大公約数の約数」で求められます。
「公倍数とは？」
２つ以上の数において、「共通な倍数」のことです。
「公倍数は、最小公倍数の倍数」で求められます。
「最大公約数(GCM)と最小公倍数(LCM) の求め方」
各数を、それぞれ素因数分解をして、同じ素数が重なるように積んでおきます。
最大公約数・・・すべての数に共通な素因数について、
「最小の指数を持つ数の積」で求められます。
最小公倍数・・・すべての数において、
「最大の指数の積」で求められます。
例えば
60 = 2^2 × 3 × 5
126 = 2 × 3^2 × 7
なので、
最大公約数は、2×3=6 と求めます。
最小公倍数は、2^2 × 3^2 × 5 × 7 = 1260 と求めます。
基本知識は、このようなものになります。
次回には、代表的な問題について説明しましょうね。
