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沙希の見たまま、思ったまま!

沙希が見たまま、思ったままの気持ちや感想を、お伝えします!

中学生が苦手とする「整数」のポイント

前回の記事で、

整数の感覚に欠けている

と述べましたが、

どんなことを学ばせたらいいの?

というお声が聞こえそうなので、まとめてみますね!

 

整数を考えるための基礎知識

 

まず、用語の確認をしましょうね。

 

整数とは?

整数は3つから成り、正の整数(自然数)と0(ゼロ)と負の整数です。

 

素数とは?

素数は、「1とその数自身の、約数を2つしかもたない数」のことです。

1は1だけですので素数ではありません。

2=2×1、3=3×1、5=5×1、7=7×1と表せるので

2、3、5、7は「素数」ですね。

4=4×1=2×2と表せるので、4は素数ではありません。

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 1~50までの素数の見つけ方です。

①1は素数ではない。

②2は素数なので、2以外の2の倍数(偶数)をすべて消す。

③3は素数なので、3以外の3の倍数をすべて消す。

 斜めに3の倍数があるのはおもしろいですね。

④5は素数なので、5以外の5の倍数を消す。

 10の倍数は2の倍数の時に消えていますね。

⑤50までなら、残るのは7の倍数49を消すだけです。

 100までなら11の倍数を消せばいいのですよ。

 

素因数分解とは?

素因数分解とは、「数を素数の積で表すこと」です。

数を、小さい素数から順にどんどん割っていって、

最後に1となるまで割ります。

そうして、素数の積で表します。

 

例えば、72=2×2×2×3×3 と分解できますね。

これを指数を使って 72=2^3×3^2 と表します。

(2^3×3^2 を、「2の3乗かける3の2乗」と呼びます)

 

素因数分解をすることで、その数の本質がわかります。

 

約数と倍数

 

N=a×bと表せるとき、

Nは、a、bの倍数である」と言えます。

また、「a、bは、Nの約数である」と言えます。

 

N=a^p×b^q×c^r  と表せるとき、

Nの約数の個数」は、(p+1)×(q+1)×(r+1)個です。

(「約数の個数」は「指数+1の掛け算」と覚えましょう)

 

倍数の表し方

2の倍数を 2×n=2n、3の倍数を 3×n=3n と表します。

 

余りの公式

「整数Nをaで割った時の商をP、余りをRとする」と

N=a×P+R   (ただし、0≦R<P

 

公約数と公倍数

 

公約数とは?

2つ以上の数において、「共通な約数」のことです。

「公約数は、最大公約数の約数」で求められます。

 

公倍数とは?

2つ以上の数において、「共通な倍数」のことです。

「公倍数は、最小公倍数の倍数」で求められます。

 

最大公約数(GCM)と最小公倍数(LCM) の求め方

各数を、それぞれ素因数分解をして、同じ素数が重なるように積んでおきます。

 

最大公約数・・・すべての数に共通な素因数について、

          「最小の指数を持つ数の積」で求められます。

最小公倍数・・・すべての数において、

          「最大の指数の積」で求められます。

 

例えば

     60 = 2^2 × 3    × 5

    126 = 2    × 3^2        × 7

なので、

最大公約数は、2×3=6 と求めます。

最小公倍数は、2^2 × 3^2 × 5 × 7 = 1260 と求めます。

 

基本知識は、このようなものになります。

 

次回には、代表的な問題について説明しましょうね。